Transformar una Variable Aleatoria No Cambia la Probabilidad: El Truco de la Función Inversa

Cuando estudias distribuciones por primera vez, el ejercicio estándar es: te dan una distribución, calculas su media, su varianza, su CDF. Pero el Examen P tiene otra pregunta favorita que al principio incomoda: te dan una variable aleatoria X, te dicen que Y = g(X) para alguna función g, y te piden el percentil 90 de Y.

La reacción instintiva es buscar la distribución de Y desde cero — derivar su PDF, integrar, establecer la ecuación. Y eso funciona, pero es lento y propenso a errores. Hay un camino más limpio que solo requiere entender una cosa: transformar la variable no mueve la probabilidad, solo mueve los valores.

El caso simple: un deducible ordinario

Imagina una póliza con pérdida X y deducible d. El pago de la aseguradora es:

$Y = (X - d)_+ = \max(X - d,\ 0)$

Si la pérdida no supera d, la aseguradora no paga nada. Si la supera, paga el exceso. Esta transformación es monótona no decreciente: a mayor X, mayor o igual Y.

Ahora alguien te pregunta: ¿cuál es el percentil 80 de Y? Es decir, ¿qué valor y cumple P(Y ≤ y) = 0.80?

La idea clave es que el evento {Y ≤ y} y el evento {X ≤ algo} son exactamente el mismo evento — solo descritos en unidades distintas. Si Y = X − d, entonces Y ≤ y si y solo si X ≤ y + d. Por lo tanto:

$P(Y \leq y) = P(X \leq y + d) = F_X(y + d)$

Para encontrar el percentil 80 de Y, igualas F_X(y + d) = 0.80 y despejas y. No necesitaste la PDF de Y. No necesitaste integrar nada nuevo. Solo usaste la CDF de X evaluada en un punto que depende de y.

Eso es todo el truco. Formalmente:

$F_Y(y) = F_X(g^{-1}(y))$

Donde g^{-1}(y) es la función inversa de la transformación: el valor de x que produce el pago y. Inviertes la transformación, sustituyes en la CDF de X, y obtienes la CDF de Y automáticamente.

Por qué funciona: la probabilidad no se mueve

La razón de fondo es simple. La función g es monótona, así que el orden se conserva: si x₁ < x₂ entonces g(x₁) ≤ g(x₂). Esto significa que el evento “la pérdida produce un pago menor a y” es exactamente el mismo conjunto de escenarios que “la pérdida es menor a g^{-1}(y)”. La probabilidad de ese conjunto no cambia porque lo escribas de una forma o de otra.

En términos de conjuntos: {ω : Y(ω) ≤ y} = {ω : X(ω) ≤ g^{-1}(y)}. Mismos escenarios, misma probabilidad.

La monotonía es el requisito que hace que esto funcione sin cambiar la dirección de la desigualdad. Todas las transformaciones estándar de seguros la cumplen: multiplicar por una constante positiva (coaseguro α·X), desplazar (X − d), tomar mínimos (min(X, u)), o combinar todo eso en una función por tramos. A mayor pérdida, mayor o igual pago — nunca al revés.

El caso con estructura por tramos

El problema donde este truco brilla más es cuando la póliza tiene una estructura diferente en distintos rangos de pérdida. Supongamos que la pérdida X tiene distribución exponencial con F(x) = 1 − e^{−x/4}, y la póliza paga así:

Si la pérdida no supera 10: la aseguradora reembolsa el 100% de la pérdida — es decir, Y = X
Si la pérdida supera 10: la aseguradora reembolsa el 100% de los primeros 10, más el 50% de lo que exceda 10

Esto define Y como función por tramos:

$Y = \begin{cases} X & 0 < X \leq 10 \\ 10 + \dfrac{X - 10}{2} & X > 10 \end{cases}$

¿Cuál es el percentil 90 de Y?

(A) 5.6
(B) 7.2
(C) 8.0
(D) 9.2
(E) 10.0

Paso 1 — Identificar en qué tramo vive el percentil.

Necesito saber si P(Y ≤ 10) es mayor o menor que 0.90. Como en el primer tramo Y = X, esto es lo mismo que P(X ≤ 10):

$F(10) = 1 - e^{-10/4} = 1 - e^{-2.5} \approx 0.9179$

El percentil 90 cumple que el 90% de la masa está por debajo de él. Como F(10) = 0.9179 > 0.90, la cota de 10 ya acumula más del 90% — así que el percentil 90 de Y vive en el primer tramo, donde Y = X directamente.

En el primer tramo la transformación es la identidad: g(x) = x, g^{-1}(y) = y. Entonces F_Y(y) = F_X(y) y el percentil 90 de Y es simplemente el percentil 90 de X:

$F(x) = 0.90 \implies 1 - e^{-x/4} = 0.90 \implies e^{-x/4} = 0.10 \implies x = -4\ln(0.10) \approx 9.21$

El percentil 90 de Y es 9.21. La respuesta es (D).

Ahora supongamos que la pregunta fuera por el percentil 95. El proceso es idéntico, pero ahora la clasificación cambia.

Paso 1 — Verificar el tramo. F(10) = 0.9179 < 0.95, así que el percentil 95 vive en el segundo tramo.

Paso 2 — Invertir la transformación del segundo tramo. En ese tramo, y = 10 + (x − 10)/2. Despejando x:

$y - 10 = \frac{x - 10}{2} \implies x = 2(y - 10) + 10 = 2y - 10$

Paso 3 — Sustituir en la CDF de X e igualar a 0.95.

$F_X(2y - 10) = 0.95$ $1 - e^{-(2y-10)/4} = 0.95$ $e^{-(2y-10)/4} = 0.05$ $-\frac{2y-10}{4} = \ln(0.05)$ $2y - 10 = -4\ln(0.05)$ $y = 5 - 2\ln(0.05) \approx 5 + 5.99 \approx 10.99$

El percentil 95 de Y es aproximadamente 11.0.

El algoritmo fue siempre el mismo: identificar el tramo, invertir, sustituir, despejar.

El patrón general

Cada vez que tengas Y = g(X) con g monótona (o monótona por tramos), el algoritmo es:

Determinar en qué tramo vive el percentil de interés usando la CDF de X evaluada en los puntos de corte.
Invertir la transformación del tramo correspondiente para obtener x en términos de y.
Establecer F_X(x(y)) = p y resolver para y.

Esto convierte cualquier problema de percentiles de variables transformadas en un problema de álgebra elemental más una consulta a la CDF de X. La distribución de Y nunca necesita calcularse explícitamente.

En el Examen P

Este tipo de problema aparece regularmente en el Examen P, especialmente en combinación con distribuciones exponenciales, uniformes y Pareto, donde la CDF tiene forma cerrada simple. La dificultad no está en la transformación algebraica — está en identificar correctamente el tramo antes de invertir, y en no confundirse cuando la transformación incluye coaseguro, deducible y límite simultáneamente.

La señal de alerta que te avisa que necesitas este truco: el enunciado define Y como una función de X con diferentes fórmulas para diferentes rangos de X, y te pide un percentil de Y. En ese momento, lo primero que calculas es la probabilidad acumulada en cada punto de corte. Ese número clasifica el percentil y te dice exactamente qué inversa usar.

Una nota adicional: cuando la transformación tiene tramos planos — por ejemplo, un límite de póliza que topa Y en algún valor máximo — la distribución de Y tiene una masa puntual en ese tope. Eso no rompe el método; solo significa que en ese punto la CDF de Y da un salto, y los percentiles en el rango del salto corresponden todos al mismo valor. Es el reflejo matemático de que muchos siniestros terminan exactamente en el límite de la cobertura.

Apéndice: la derivación formal

Sea X una variable aleatoria continua con CDF F_X y sea Y = g(X) donde g es estrictamente monótona creciente. Queremos encontrar F_Y(y) = P(Y ≤ y).

Como g es estrictamente creciente, la desigualdad Y ≤ y es equivalente a g(X) ≤ y, que a su vez es equivalente a X ≤ g^{-1}(y). Por lo tanto:

$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) = P(X \leq g^{-1}(y)) = F_X(g^{-1}(y))$

La igualdad P(g(X) ≤ y) = P(X ≤ g^{-1}(y)) es válida precisamente porque g es estrictamente creciente: aplicar g^{-1} a ambos lados de la desigualdad preserva la dirección.

Si g fuera estrictamente decreciente, la desigualdad se invertiría: P(g(X) ≤ y) = P(X ≥ g^{-1}(y)) = 1 − F_X(g^{-1}(y)). En seguros esto casi nunca ocurre porque los pagos siempre crecen con las pérdidas.

Para el caso por tramos, el mismo argumento aplica tramo a tramo. Si g₁ opera sobre (−∞, c] y g₂ sobre (c, ∞), y ambas son monótonas crecientes dentro de su dominio, entonces para y en el rango de g₂:

$F_Y(y) = P(X \leq c) + P(c < X \leq g_2^{-1}(y)) = F_X(g_2^{-1}(y))$

La primera igualdad descompone el evento por tramos; la segunda lo colapsa en una sola evaluación de F_X porque ambos tramos apuntan en la misma dirección.